Fortegnsskjema for førstederiverte
: funksjonen er voksende.: funksjonen er avtagende.: mulig ekstremalpunkt. Sjekk om skifter fortegn.
Andrederiverte og konveksitet
: grafen er konveks (buer oppover).: grafen er konkav (buer nedover).Vendepunkt oppstår der og skifter fortegn.
Gjennomgått eksempel
. Da . for og .Fortegnsskjema viser: voksende for , avtagende for , voksende for .Toppunkt i og bunnpunkt i .
Optimering (praktisk maksimum og minimum)
1. Sett opp funksjonen for størrelsen du vil maksimere eller minimere, uttrykt ved én variabel. Bruk en bibetingelse til å fjerne de andre variablene.2. Finn definisjonsmengden (hvilke verdier gir mening fysisk?).3. Deriver og løs .4. Avgjør om det er maksimum eller minimum med fortegnsskjema eller andrederiverttesten.5. Sjekk alltid endepunktene i definisjonsmengden, ytterpunktet kan ligge der.
Gjennomgått eksempel: optimering
Et rektangel har omkrets . Hvilke sider gir størst areal?Bibetingelse: , så .Areal: for . gir . Da , altså maksimum.Med blir og arealet . Kvadratet gir størst areal.
Tips
Et punkt der uten fortegnsskifte er et terrassepunkt, ikke et ekstremalpunkt. Eksempel: i .
Om eksempeloppgavene
Eksempelet finner topp- og bunnpunkt for hånd, med fortegnsskjema for den deriverte. Konveksitet og vendepunkt kommer av den andrederiverte og er egne oppgavetyper.Alle teknikkene i Matte R1 står på Lær Matte R1.