Formler, teknikker og begreper du trenger til eksamen.
KompetansemålNår en brøk med polynomer skal integreres og telleren ikke er den deriverte av nevneren, splitter du brøken i to enklere brøker som hver blir en logaritme. Metoden kalles også delbrøkoppspalting.
Sjekk først om telleren er den deriverte
Brøker med polynomer over og under dukker opp i S2 fordi .
Regelen krever at telleren er nøyaktig den deriverte av nevneren, eventuelt opp til en konstant faktor. I er den deriverte av lik , og svaret er uten noe mer arbeid.
Er telleren noe annet, stopper regelen. Da er det delbrøksoppspaltning du trenger.
Regelen krever at telleren er nøyaktig den deriverte av nevneren, eventuelt opp til en konstant faktor. I er den deriverte av lik , og svaret er uten noe mer arbeid.
Er telleren noe annet, stopper regelen. Da er det delbrøksoppspaltning du trenger.
Fremgangsmåte
1. Faktoriser nevneren i lineære faktorer.
2. Sett opp én brøk per faktor, med ukjent teller: .
3. Multipliser opp, så du står igjen med en likhet mellom to polynomer.
4. Sett inn nullpunktene til nevneren, ett om gangen, og les av og .
5. Integrer hvert ledd som en logaritme.
2. Sett opp én brøk per faktor, med ukjent teller: .
3. Multipliser opp, så du står igjen med en likhet mellom to polynomer.
4. Sett inn nullpunktene til nevneren, ett om gangen, og les av og .
5. Integrer hvert ledd som en logaritme.
Gjennomarbeidet eksempel
Finn .
Telleren er , altså ikke den deriverte av nevneren, så vi spalter opp: .
Multipliser opp: .
gir , så . gir , så .
Integralet blir .
Telleren er , altså ikke den deriverte av nevneren, så vi spalter opp: .
Multipliser opp: .
gir , så . gir , så .
Integralet blir .
Det motsatte av å sette på fellesnevner
Å sette brøker på fellesnevner er det du gjorde da du la sammen på barnetrinnet: to enkle brøker blir én sammensatt. Oppspalting går motsatt vei.
Derfor har du kontrollen gratis: legg leddene sammen igjen, og se om du får tilbake brøken du startet med.
Derfor har du kontrollen gratis: legg leddene sammen igjen, og se om du får tilbake brøken du startet med.
Der metoden dukker opp i logistisk vekst
Den logistiske modellen er separabel, og når du skiller variablene står på den ene siden.
Den brøken er nettopp et oppspaltingstilfelle: , som gir .
Løser du for , får du , altså den formelen du ellers bare får oppgitt. I S2 holder det å bruke formelen, men da vet du hvor den kommer fra.
Den brøken er nettopp et oppspaltingstilfelle: , som gir .
Løser du for , får du , altså den formelen du ellers bare får oppgitt. I S2 holder det å bruke formelen, men da vet du hvor den kommer fra.
Krav og vanlige feil
Telleren må ha lavere grad enn nevneren. Har den ikke det, gjør du polynomdivisjon først.
Absoluttverditegnet i skal stå. Uten det gjelder svaret bare der parentesen er positiv.
Gjentatte faktorer som og andregradsledd som ikke kan faktoriseres, krever flere ledd i oppsettet. Det hører til R2.
Absoluttverditegnet i skal stå. Uten det gjelder svaret bare der parentesen er positiv.
Gjentatte faktorer som og andregradsledd som ikke kan faktoriseres, krever flere ledd i oppsettet. Det hører til R2.
Eksempel