Formler i Matte S2

Formler

Følger og rekker

Aritmetisk følge: n-te ledd $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$
d er den konstante differansen mellom etterfølgende ledd.
Aritmetisk rekke: sum $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2} = \frac{n}{2} (2 a_{1} + (n - 1) d)$
Sum av de n første leddene i en aritmetisk rekke.
Geometrisk følge: n-te ledd $a_{n} = a_{1} \cdot k^{n - 1}$
k er den konstante kvotienten mellom etterfølgende ledd.
Geometrisk rekke: sum $S_{n} = a_{1} \cdot \frac{k ^{n} - 1}{k - 1} (k \neq = 1)$
Sum av de n første leddene i en geometrisk rekke.
Uendelig geometrisk rekke $S = \frac{a _{1}}{1 - k} (∣ k ∣ < 1)$
Summen av alle leddene konvergerer når |k| < 1.
Konvergenskrav for geometrisk rekke $∣ k ∣ < 1$
Rekken konvergerer hvis og bare hvis kvotienten har tallverdi under 1.
Rekursiv formel $a_{n + 1} = a_{n} + d (aritmetisk), a_{n + 1} = k \cdot a_{n} (geometrisk)$
Neste ledd uttrykt ved det forrige. Brukes i programmering av følger.

Integrasjon

Ubestemt integral: potensfunksjon $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C (n \neq = - 1)$
Integrasjon er omvendt derivasjon.
Integral av $1/x$ $\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$
Unntakstilfelle fra potensfunksjonsregelen.
Integral av eksponentialfunksjon $\int e^{x} d x = e^{x} + C, \int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C$
Integrasjon av eksponentialfunksjoner.
Bestemt integral: Newton–Leibniz $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$
F er en antiderivert til f. Gir arealet under kurven.
Areal mellom kurver $A = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$
Arealet av feltet mellom to kurver f og g.
Integrasjon ved substitusjon $\int f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int f (u) d u, u = g (x)$
Kjernemetoden for integrasjon.
Delvis integrasjon $\int f g^{'} d x = f g - \int f^{'} g d x$
Produktregel for integrasjon: \int uv'\,dx = uv - \int u'v\,dx.
Analysens fundamentalteorem $\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x)$
Derivasjon og integrasjon er motsatte operasjoner.
Gjennomsnittsverdi av en funksjon $\overset{ˉ}{f} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$
Den konstante verdien som gir samme areal over intervallet.

Sannsynlighet og statistikk

Forventningsverdi: diskret $E (X) = \sum_{i} x_{i} \cdot P (X = x_{i})$
Forventningsverdien til en diskret stokastisk variabel.
Varians: diskret $Var (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$
Variansen er gjennomsnittlig kvadratisk avvik fra forventningen.
Standardavvik $σ (X) = Var (X)$
Standardavviket er kvadratroten av variansen og måler spredning i samme enhet som variabelen.
Binomialfordeling $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$
Sannsynligheten for nøyaktig k suksesser i n uavhengige forsøk med sannsynlighet p.
Binomialfordeling: forventning og standardavvik $E (X) = n p, σ (X) = n p (1 - p)$
Forventning og standardavvik for binomialfordelt variabel.
Standard normalfordeling: z-verdi $Z = \frac{X - μ}{σ}$
Standardisering til standard normalfordeling N(0,1).
Konfidensintervall $\overset{p}{^} \pm z_{α /2} \cdot \frac{p ^ ( 1 - p ^ )}{n}$
Konfidensintervall for andelen p med estimat \hat{p} fra utvalg av størrelse n.
Sentralgrensesetningen $\overset{ˉ}{X} \approx N (μ, \frac{σ ^{2}}{n}) f or s t or t n$
Gjennomsnittet av et stort utvalg er tilnærmet normalfordelt, uansett opprinnelig fordeling.

Differensiallikninger

Eksponentiell vekst/forfall $y^{'} = k y ⟹ y = y_{0} e^{k t}$
Løsning av lineær differensiallikning y' = ky.
Logistisk vekst $y^{'} = k y (1 - \frac{y}{M}) ⟹ y = \frac{M}{1 + C e ^{- k t}}$
Bærekapasitet M. Veksten avtar når y nærmer seg M.

Finansmatematikk

Vekstfaktor $v = 1 + \frac{p}{100}$
Tallet du ganger med for én periodes vekst på p prosent. Nedgang gir v < 1.
Sluttverdi av et beløp $K_{n} = K_{0} \cdot (1 + r)^{n}$
Ett innskudd som står n terminer med rentefot r per termin.
Sluttverdi av fast sparing $S_{n} = K \cdot \frac{( 1 + r ) ^{n} - 1}{r}$
Etterskuddsannuitet: like store innskudd K ved slutten av hver av n terminer.
Nåverdi av en annuitet $N = K \cdot \frac{1 - ( 1 + r ) ^{- n}}{r}$
Verdien i dag av n like store beløp K utbetalt framover.
Terminbeløp på annuitetslån $K = L \cdot \frac{r}{1 - ( 1 + r ) ^{- n}}$
Like store terminbeløp som nedbetaler lånet L over n terminer.
Effektiv rente $r_{eff} = (1 + \frac{r _{nom}}{m})^{m} - 1$
Årlig rente når renten legges til m ganger i året.
Doblingstid $n = \frac{l g 2}{l g v}$
Antall perioder før beløpet er doblet, med vekstfaktor v.
Halveringstid $n = \frac{l g 0 , 5}{l g v}$
Antall perioder før beløpet er halvert, med vekstfaktor v < 1.

Funksjonsmodellering

Eksponentiell modell $f (x) = a \cdot b^{x}$
Startverdi a og vekstfaktor b per tidsenhet. Konstant prosentvis endring.
Logistisk modell $f (x) = \frac{B}{1 + a \cdot e ^{- k x}}$
Vekst med øvre grense B. Ligner eksponentiell tidlig og flater ut mot B.
Vendepunkt i logistisk modell $f (x) = \frac{B}{2}$
Der veksten er størst. Etter vendepunktet avtar vekstfarten.
Logaritmisk modell $f (x) = a + b ln x$
Rask endring for små x, langsommere for store. Ingen øvre grense.
Potensmodell $f (x) = a \cdot x^{b}$
Brukes når dobling av x gir en fast faktors endring i f(x).
Logaritmen linjariserer eksponentiell modell $l g f (x) = l g a + x l g b$
En eksponentiell modell blir en rett linje når du plotter logaritmen av verdiene.
Gjennomsnittlig vekstfart $\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$
Stigningstallet til linja mellom to punkter på grafen.

Økonomisk modellering

Overskudd $O (x) = I (x) - K (x)$
Inntekt minus kostnad ved produksjon av x enheter.
Grensekostnad $K^{'} (x)$
Omtrent kostnaden ved å produsere én enhet til, når produksjonen er x.
Grenseinntekt $I^{'} (x)$
Omtrent inntekten fra å selge én enhet til. Er inntekten lineær, er den lik prisen.
Enhetskostnad $E (x) = \frac{K ( x )}{x}$
Kostnad per produsert enhet.
Maksimalt overskudd $O^{'} (x) = 0 ⟺ I^{'} (x) = K^{'} (x)$
Overskuddet er størst der grenseinntekt og grensekostnad er like. Sjekk at punktet er et toppunkt.
Minimal enhetskostnad $E^{'} (x) = 0 ⟺ K^{'} (x) = E (x)$
Enhetskostnaden er minst der grensekostnaden er lik enhetskostnaden.
Kostnad fra grensekostnad $K (x) = \int_{0}^{x} K^{'} (t) d t + K (0)$
De faste kostnadene K(0) er integrasjonskonstanten.

Statistisk inferens

Nullhypotese og alternativ hypotese $H_{0} : p = p_{0}, H_{1} : p > p_{0}$
Nullhypotesen er påstanden vi tester mot. Alternativ hypotese er det vi vil vise.
p-verdi $P (X \geq k ∣ H_{0})$
Sannsynligheten for et minst så ekstremt resultat gitt at nullhypotesen er sann.
Forkastning av nullhypotesen $p -verdi \leq α$
Signifikansnivået \alpha velges før testen, ofte 0{,}05.
Standardavvik til gjennomsnittet $σ_{\overset{ˉ}{X}} = \frac{σ}{n}$
Gjennomsnittet varierer mindre enn enkeltobservasjonene, og mindre jo større n er.
Z-test på gjennomsnitt $Z = \frac{x ˉ - μ _{0}}{σ / n}$
Testobservator når vi tester en påstand om forventningsverdien.
Feil av type I og type II $Type I : forkaste sann H_{0}, Type II : beholde usann H_{0}$
Signifikansnivået er sannsynligheten for en feil av type I.