Formler, teknikker og begreper du trenger til eksamen.
KompetansemålBestemte integraler gir eksakt areal under og mellom kurver, og volum av rotasjonslegemer dannet ved å rotere en kurve om en akse.
Areal under og mellom kurver
Arealet under over intervallet (der ) er .
Arealet mellom to kurver, der i hele intervallet, er .
Eksempel: arealet mellom og . Skjæringspunktene er og , og der. Da er .
Finn alltid skjæringspunktene først, og sjekk hvilken kurve som ligger øverst i intervallet.
Arealet mellom to kurver, der i hele intervallet, er .
Eksempel: arealet mellom og . Skjæringspunktene er og , og der. Da er .
Finn alltid skjæringspunktene først, og sjekk hvilken kurve som ligger øverst i intervallet.
Skivemetoden: rotasjon om x-aksen
Når roteres om -aksen, får du:
Tenk på det som en stabel av uendelig tynne sirkelsylindere med radius .
Tenk på det som en stabel av uendelig tynne sirkelsylindere med radius .
Gjennomarbeidet eksempel
Finn volumet når roteres om -aksen for .
.
.
Volum mellom to kurver
Når området mellom og roteres, der :
Tenk på det som en hul sylinder: du trekker det indre volumet fra det ytre.
Tenk på det som en hul sylinder: du trekker det indre volumet fra det ytre.
Tips og kontroll
Tegn alltid et tverrsnitt av figuren for å kontrollere oppsettet. Sjekk at gir mening i hele intervallet. Husk at formelen gir eksakt volum, ikke en tilnærming.
Eksempel