Formler, teknikker og begreper du trenger til eksamen.
KompetansemålRekker summerer følger med lukkede formler. Konvergenskriteriet avgjør om en uendelig rekke har en endelig sum.
Aritmetisk rekke
I en aritmetisk følge er differansen konstant: .
Summen av de første leddene: .
Eksempel: .
Summen av de første leddene: .
Eksempel: .
Geometrisk rekke
I en geometrisk følge er kvotienten konstant: .
Endelig sum: for .
Uendelig sum (konvergent for ): .
Endelig sum: for .
Uendelig sum (konvergent for ): .
Gjennomarbeidet eksempel: uendelig rekke
Finn summen av .
Her er og . Siden konvergerer rekken:
.
Her er og . Siden konvergerer rekken:
.
Annuitet og sparing
Faste innskudd som forrentes danner en geometrisk rekke. Setter du inn kroner ved hvert av tidspunkt med vekstfaktor (rente per periode), vokser innskuddene til .
Sluttverdien er summen av denne geometriske rekken: .
Eksempel: kr i 5 år med rente gir og kr.
Samme rekke bruker du baklengs for å finne nødvendig innskudd eller for å regne på nedbetaling av lån (annuitetslån).
Sluttverdien er summen av denne geometriske rekken: .
Eksempel: kr i 5 år med rente gir og kr.
Samme rekke bruker du baklengs for å finne nødvendig innskudd eller for å regne på nedbetaling av lån (annuitetslån).
Bevis ved induksjon
Sumformler bevises ved matematisk induksjon. Basissteg: sjekk for . Induksjonssteg: anta formelen for , legg til og vis at formelen gjelder for . Kombiner gjerne med induksjonsteknikken over.
Eksempel