Formler, teknikker og begreper du trenger til eksamen.
KompetansemålSeparable differensialligninger løses ved å skille variablene. Retningsfelt og Eulers metode gir kvalitativ og numerisk innsikt. Eksponentiell og logistisk vekst er viktige modeller.
Separabel metode
Ligningen er separabel. Skill variablene:
Integrer begge sider og løs for .
Integrer begge sider og løs for .
Gjennomarbeidet eksempel
Løs med .
Separerer: . Integrerer: .
Dermed . Initialbetingelsen gir , så .
Separerer: . Integrerer: .
Dermed . Initialbetingelsen gir , så .
Eksponentiell og logistisk vekst
Eksponentiell: gir . er vekst, er forfall.
Logistisk: gir . Løsningen nærmer seg bærekapasiteten når .
Logistisk: gir . Løsningen nærmer seg bærekapasiteten når .
Retningsfelt
Et retningsfelt tegner en kort strek med stigningstall i mange punkter , uten at du løser ligningen. Løsningskurvene følger strekene.
For har alle punkter på linjen vannrett stigning, på stigning , og så videre. Slike linjer med lik stigning kalles isokliner og gjør det lett å skissere feltet.
Retningsfeltet viser kvalitativ oppførsel: hvor løsningene stiger, synker og hvilke likevekter de nærmer seg.
For har alle punkter på linjen vannrett stigning, på stigning , og så videre. Slike linjer med lik stigning kalles isokliner og gjør det lett å skissere feltet.
Retningsfeltet viser kvalitativ oppførsel: hvor løsningene stiger, synker og hvilke likevekter de nærmer seg.
Eulers metode
Når en differensialligning ikke kan løses eksakt, tilnærmer Eulers metode løsningen steg for steg: , der er steglengden.
Eksempel: med og . Steg 1: , så . Steg 2: , så .
Mindre steglengde gir bedre nøyaktighet, men flere regnesteg.
Eksempel: med og . Steg 1: , så . Steg 2: , så .
Mindre steglengde gir bedre nøyaktighet, men flere regnesteg.
Tips
Bestem alltid integrasjonskonstanten fra initialbetingelsen. Sjekk løsningen ved å derivere og sette inn i den opprinnelige ligningen. Pass på at når du deler.
Eksempel