Formler i Matte R2

Formler

Integrasjon

Newton–Leibniz $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$
Bestemt integral som differanse av antideriverte.
Integrasjon ved substitusjon $\int_{a}^{b} f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int_{g (a)}^{g (b)} f (u) d u$
Variabelskifte: la u = g(x).
Delvis integrasjon $\int u d v = uv - \int v d u$
Brukes for integraler av produkt, f.eks. xe^x.
Integral av trigonometriske funksjoner $\int sin x d x = - cos x + C, \int cos x d x = sin x + C$
Grunnleggende trigonometriske integraler.
Volum ved rotasjon om x-aksen $V = π \int_{a}^{b} [f (x)]^{2} d x$
Volum av rotasjonslegeme dannet ved å rotere y = f(x) om x-aksen.
Areal mellom to kurver $A = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$
Arealet av feltet mellom kurvene f og g.
Buelengde $L = \int_{a}^{b} 1 + [f^{'} (x)]^{2} d x$
Lengden av kurven y = f(x) fra x = a til x = b.
Buelengde: parameterform $L = \int_{a}^{b} (x^{'})^{2} + (y^{'})^{2} d t$
Lengden av kurven gitt ved \mathbf{r}(t) = (x(t), y(t)) fra t = a til t = b.
Ubestemt integral av potensfunksjon $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C (n \neq = - 1)$
Omvendt av derivasjonsregelen for potenser.
Integral av én delt på x $\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$
Unntaket fra potensregelen, altså tilfellet n = -1.
Integral av eksponentialfunksjon $\int e^{k x} d x = \frac{e ^{k x}}{k} + C, \int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C$
Konstanten i eksponenten deles ut.
Volum ved rotasjon om y-aksen $V = π \int_{c}^{d} [g (y)]^{2} d y$
Kurven må skrives som x = g(y) før integrasjonen.
Analysens fundamentalteorem $\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x)$
Derivasjon og integrasjon er motsatte operasjoner. Teoremet er grunnen til at bestemte integraler kan regnes ut med antideriverte.
Trapesmetoden $\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{h}{2} (f_{0} + 2 f_{1} + \dots + 2 f_{n - 1} + f_{n}), h = \frac{b - a}{n}$
Numerisk integrasjon. Arealet under grafen tilnærmes med trapeser.

Trigonometriske identiteter

Pythagoreisk identitet $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$
Grunnidentitet.
Addisjonsteoremet: sinus $sin (A \pm B) = sin A cos B \pm cos A sin B$
Sinus av sum/differanse.
Addisjonsteoremet: cosinus $cos (A \pm B) = cos A cos B \mp sin A sin B$
Cosinus av sum/differanse.
Dobbeltvinkelformlene $sin 2 A = 2 sin A cos A, cos 2 A = cos^{2} A - sin^{2} A = 2 cos^{2} A - 1 = 1 - 2 sin^{2} A$
Utledet fra addisjonsformlene med B = A.
Halvvinkelformlene $sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}, cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}$
Brukes til å integrere kvadrerte trigonometriske funksjoner.

Vektorer i rommet

Vektorlengde 3D $∣ a ∣ = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}$
Lengden til vektor \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3).
Skalarprodukt 3D $a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$
Null når vektorene er ortogonale.
Kryssprodukt $a \times b = i a_{1} b_{1} j a_{2} b_{2} k a_{3} b_{3}$
Kryssproduktet er ortogonalt på begge vektorene. |\mathbf{a}\times\mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta.
Planlikning $n \cdot (r - r_{0}) = 0 ⟹ n_{1} x + n_{2} y + n_{3} z = d$
Plan med normalvektor \mathbf{n} gjennom punktet \mathbf{r}_0.
Avstand punkt–plan $d = \frac{∣ n _{1} x _{0} + n _{2} y _{0} + n _{3} z _{0} - D ∣}{n _{1}^{2} + n _{2}^{2} + n _{3}^{2}}$
Korteste avstand fra punkt (x_0,y_0,z_0) til planet n_1x + n_2y + n_3z = D.
Parameterframstilling av linje 3D $r (t) = r_{0} + t d, t \in R$
Linje gjennom \mathbf{r}_0 med retningsvektor \mathbf{d}.

Differensialligninger

Eksponentiell vekst $y^{'} = k y ⟹ y = y_{0} e^{k t}$
Løsning av separabel differensialligning.
Logistisk vekst $y^{'} = k y (1 - \frac{y}{M}) ⟹ y = \frac{M}{1 + C e ^{- k t}}$
Vekst med øvre grense M.
Separabel differensialligning $\frac{d y}{d x} = f (x) g (y) ⟹ \int \frac{d y}{g ( y )} = \int f (x) d x$
Separable differensialligninger løses ved å skille variablene.
Eulers metode $y_{n + 1} = y_{n} + h \cdot f (x_{n}, y_{n}), x_{n + 1} = x_{n} + h$
Numerisk løsning av y' = f(x, y). Mindre steglengde h gir mindre feil.
Newtons avkjølingslov $T^{'} = - k (T - T_{0}) ⟹ T = T_{0} + (T_{start} - T_{0}) e^{- k t}$
Temperaturen nærmer seg omgivelsestemperaturen T_0 eksponentielt.

Matematisk induksjon

Induksjonsbevis $P (1) sant \land (P (n) \Rightarrow P (n + 1)) ⟹ P (n) sant for alle n \in N$
Bevismønster: basissteg + induksjonssteg.

Rekker og følger

Aritmetisk følge $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$
Konstant differanse d mellom naboledd.
Aritmetisk rekke $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2} = \frac{n}{2} (2 a_{1} + (n - 1) d)$
Summen av de n første leddene.
Geometrisk følge $a_{n} = a_{1} \cdot k^{n - 1}$
Konstant kvotient k mellom naboledd.
Geometrisk rekke $S_{n} = a_{1} \cdot \frac{k ^{n} - 1}{k - 1} (k \neq = 1)$
Summen av de n første leddene.
Uendelig geometrisk rekke $S = \frac{a _{1}}{1 - k} (∣ k ∣ < 1)$
Summen når antall ledd går mot uendelig.
Konvergenskrav for geometrisk rekke $∣ k ∣ < 1$
Rekken konvergerer hvis og bare hvis kvotienten har tallverdi under 1. Ellers divergerer den.
Sum av de n første naturlige tallene $1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$
Standardresultat, ofte brukt som eksempel i induksjonsbevis.
Rekursiv formel $a_{n + 1} = a_{n} + d (aritmetisk), a_{n + 1} = k \cdot a_{n} (geometrisk)$
Neste ledd uttrykt ved det forrige. Brukes i programmering av følger.
Grenseverdi til en følge $lim_{n \to \infty} a_{n} = L$
Følgen konvergerer mot L dersom leddene kommer vilkårlig nær L.

Trigonometri og periodiske funksjoner

Radianer $18 0^{\circ} = π rad$
Omregning mellom grader og radianer. Full sirkel er 2\pi.
Sirkelbue og sirkelsektor $b = r θ, A = \frac{1}{2} r^{2} θ$
Vinkelen \theta må være i radianer.
Generell sinusfunksjon $f (x) = a sin (c (x - d)) + e$
Amplitude |a|, periode \dfrac{2\pi}{c}, faseforskyvning d og likevektslinje y = e.
Derivasjon av sinus og cosinus $(sin x)^{'} = cos x, (cos x)^{'} = - sin x$
Gjelder når x er i radianer.
Derivasjon av tangens $(tan x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x} = 1 + tan^{2} x$
Følger av brøkregelen brukt på \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}.
Grunnlikningen for sinus $sin x = k ⟹ x = sin^{- 1} k + n \cdot 2 π \lor x = π - sin^{- 1} k + n \cdot 2 π$
To løsningsgrener per periode. Her er n et helt tall.
Grunnlikningen for cosinus $cos x = k ⟹ x = \pm cos^{- 1} k + n \cdot 2 π$
Symmetrisk om x = 0. Her er n et helt tall.
Tangens som forhold $tan x = \frac{sin x}{cos x}$
Ikke definert der \cos x = 0.

Parameterframstillinger og vektorfunksjoner

Parameterframstilling av kurve $r (t) = (x (t), y (t))$
Posisjonen til et punkt som funksjon av parameteren t, ofte tiden.
Fartsvektor $v (t) = r^{'} (t) = (x^{'} (t), y^{'} (t))$
Den deriverte av posisjonsvektoren. Peker langs banen.
Akselerasjonsvektor $a (t) = v^{'} (t) = r^{''} (t)$
Den dobbeltderiverte av posisjonsvektoren.
Banefart $∣ v (t) ∣ = (x^{'} (t))^{2} + (y^{'} (t))^{2}$
Lengden av fartsvektoren, altså farten langs banen.
Vinkel mellom vektorer $cos θ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}$
Følger av definisjonen av skalarproduktet.