Formler, teknikker og begreper du trenger til eksamen.
KompetansemålFortegnskjema for og avslører monotoni, konveksitet og spesielle punkter.
Fortegnsskjema for førstederiverte
: funksjonen er voksende.
: funksjonen er avtagende.
: mulig ekstremalpunkt. Sjekk om skifter fortegn.
: funksjonen er avtagende.
: mulig ekstremalpunkt. Sjekk om skifter fortegn.
Andrederiverte og konveksitet
: grafen er konveks (buer oppover).
: grafen er konkav (buer nedover).
Vendepunkt oppstår der og skifter fortegn.
: grafen er konkav (buer nedover).
Vendepunkt oppstår der og skifter fortegn.
Gjennomgått eksempel
. Da .
for og .
Fortegnsskjema viser: voksende for , avtagende for , voksende for .
Toppunkt i og bunnpunkt i .
for og .
Fortegnsskjema viser: voksende for , avtagende for , voksende for .
Toppunkt i og bunnpunkt i .
Optimering (praktisk maksimum og minimum)
1. Sett opp funksjonen for størrelsen du vil maksimere eller minimere, uttrykt ved én variabel. Bruk en bibetingelse til å fjerne de andre variablene.
2. Finn definisjonsmengden (hvilke verdier gir mening fysisk?).
3. Deriver og løs .
4. Avgjør om det er maksimum eller minimum med fortegnsskjema eller andrederiverttesten.
5. Sjekk alltid endepunktene i definisjonsmengden, ytterpunktet kan ligge der.
2. Finn definisjonsmengden (hvilke verdier gir mening fysisk?).
3. Deriver og løs .
4. Avgjør om det er maksimum eller minimum med fortegnsskjema eller andrederiverttesten.
5. Sjekk alltid endepunktene i definisjonsmengden, ytterpunktet kan ligge der.
Gjennomgått eksempel: optimering
Et rektangel har omkrets . Hvilke sider gir størst areal?
Bibetingelse: , så .
Areal: for .
gir . Da , altså maksimum.
Med blir og arealet . Kvadratet gir størst areal.
Bibetingelse: , så .
Areal: for .
gir . Da , altså maksimum.
Med blir og arealet . Kvadratet gir størst areal.
Tips
Et punkt der uten fortegnsskifte er et terrassepunkt, ikke et ekstremalpunkt. Eksempel: i .
Eksempel