Formler, teknikker og begreper du trenger til eksamen.
KompetansemålLogaritmelover, løsning av eksponential- og logaritmeligninger, og derivasjon av logaritme- og eksponentialfunksjoner med kjerneregelen.
Derivasjonsregler
Logaritmelovene
Disse er nyttige for å forenkle uttrykk før derivasjon.
Løse eksponentialligninger
Isoler potensen, ta på begge sider og bruk .
Eksempel: . Da , så .
Med grunntall : .
Eksempel: . Da , så .
Med grunntall : .
Løse logaritmeligninger
Samle logaritmene til én med logaritmelovene, og skriv om til eksponentialform. Sjekk til slutt at løsningene ligger i definisjonsmengden (argumentet må være positivt).
Eksempel: . Slå sammen: , altså .
Faktoriserer: , så eller . Bare gyldig, siden gir negativt argument.
Eksempel: . Slå sammen: , altså .
Faktoriserer: , så eller . Bare gyldig, siden gir negativt argument.
Logaritmisk derivasjon
For : ta på begge sider så . Deriver implisitt: . Gang med for å få .
Gjennomgått eksempel
Deriver .
Kjerne: , .
.
Kjerne: , .
.
Eksponentiell og logistisk modellering
Eksponentiell modell: eller , med konstant relativ endring. gir vekst, gir forfall. Doblings- og halveringstid finner du ved å ta på begge sider.
Eksempel: en bakteriekultur på dobles hver tredje time. Modell: . Etter timer: .
Logistisk modell: . Her er bærekapasiteten som grafen nærmer seg når . Veksten er raskest i vendepunktet, der .
Eksempel: en bakteriekultur på dobles hver tredje time. Modell: . Etter timer: .
Logistisk modell: . Her er bærekapasiteten som grafen nærmer seg når . Veksten er raskest i vendepunktet, der .
Eksempel