Formler, teknikker og begreper du trenger til eksamen.
KompetansemålEn funksjon er kontinuerlig i hvis . Diskontinuitet oppstår ved hopp, pol eller fjernbart punkt.
Tre typer diskontinuitet
Hoppunkt: ensidige grenseverdier eksisterer men er ulike.
Fjernbart punkt: grenseverdien finnes, men er ulik eller er udefinert.
Pol: grenseverdien er .
Fjernbart punkt: grenseverdien finnes, men er ulik eller er udefinert.
Pol: grenseverdien er .
Stykkevis definerte funksjoner
For å sjekke kontinuitet i knekkpunktet : beregn venstregrenseverdien og høyregrenseverdien . Begge må være like og lik .
Konjugatknep for 0/0-grenser med rot
Når en grense gir formen og inneholder en kvadratrot, gang teller og nevner med konjugatet. Da forsvinner roten, og fellesfaktoren kan forkortes.
Eksempel: . Gang med :
.
Når : grensen er .
Eksempel: . Gang med :
.
Når : grensen er .
Deriverbarhet i skjøtepunkt
En stykkevis funksjon er deriverbar i skjøtepunktet bare hvis den er kontinuerlig der OG venstre- og høyrederivert er like. Deriverbar medfører kontinuerlig, men ikke omvendt: er kontinuerlig i , men ikke deriverbar (knekk).
Eksempel: for og for . Krav om kontinuitet: , altså . Krav om lik derivert: venstre gir i , høyre gir , så .
Da blir . Funksjonen er både kontinuerlig og deriverbar i skjøtepunktet når og .
Eksempel: for og for . Krav om kontinuitet: , altså . Krav om lik derivert: venstre gir i , høyre gir , så .
Da blir . Funksjonen er både kontinuerlig og deriverbar i skjøtepunktet når og .
L’Hôpitals regel
Hvis gir eller , kan du derivere teller og nevner hver for seg: . Regelen kan brukes gjentatte ganger.
Gjennomgått eksempel
Finn .
Formen er . L’Hôpital gir .
Formen er . L’Hôpital gir .
Eksempel