Formler i Matte R1

Formler

Grenseverdier og derivasjon

Definisjon av den deriverte $f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$
Den deriverte som grenseverdi.
Potensregelen $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$
Gjelder for alle reelle n.
Kjerneregelen $(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$
Derivasjon av sammensatt funksjon.
Produktregelen $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$
Derivasjon av produkt.
Kvotientregelen $(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$
Derivasjon av brøk.
Derivert av trigonometriske funksjoner $(sin x)^{'} = cos x, (cos x)^{'} = - sin x, (tan x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x}$
Grunnleggende trigonometriske deriverte.
Derivert av eksponential- og logaritmefunksjoner $(e^{x})^{'} = e^{x}, (ln x)^{'} = \frac{1}{x}$
De to viktigste transcendente funksjonene.
L'Hôpitals regel $lim_{x \to a} \frac{f ( x )}{g ( x )} = lim_{x \to a} \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )} n \overset{a}{˚} r formen er \frac{0}{0} eller \frac{\infty}{\infty}$
Brukes til å beregne ubestemte grenseverdier.
Derivert av omvendt funksjon $(f^{- 1})^{'} (b) = \frac{1}{f ^{'} ( f ^{- 1} ( b ))}$
Derivert av den inverse funksjonen i et punkt.
Standardgrenseverdi for sinus $lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1$
Fundamental grenseverdi i radian. Brukes til å derivere \sin.
Eksponentiell standardgrenseverdi $lim_{x \to 0} \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1$
Grunnlag for derivasjon av e^x.
Logaritmisk standardgrenseverdi $lim_{x \to 0} \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1$
Lineær tilnærming av \ln nær 1.
Kontinuitet $f kontinuerlig i a ⟺ lim_{x \to a} f (x) = f (a)$
Tre krav: f(a) eksisterer, grenseverdien eksisterer, og de er like.
Deriverbarhet $f deriverbar i a ⟹ f kontinuerlig i a$
Omvendt gjelder ikke: |x| er kontinuerlig men ikke deriverbar i 0.

Trigonometri

Pythagoreisk identitet $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$
Grunnleggende trigonometrisk identitet.
Addisjonsteoremet: sinus $sin (A \pm B) = sin A cos B \pm cos A sin B$
Sinus av sum/differanse av to vinkler.
Addisjonsteoremet: cosinus $cos (A \pm B) = cos A cos B \mp sin A sin B$
Cosinus av sum/differanse av to vinkler.
Dobbeltvinkelformlene $sin 2 A = 2 sin A cos A, cos 2 A = cos^{2} A - sin^{2} A$
Spesialtilfellet B = A i addisjonsteoremet.
Sinussetningen $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C}$
For vilkårlige trekanter.
Cosinussetningen $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$
Generalisering av Pytagoras.
Eksakte trigonometriske verdier $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}, sin \frac{π}{4} = \frac{2}{2}, sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$
Cosinus-verdiene speilvendes om \pi/4. Tangens = sin/cos.
Symmetri og periodisitet $sin (- x) = - sin x, cos (- x) = cos x, sin (x + 2 π) = sin x$
Sinus odd, cosinus jevn, begge har periode 2\pi.
Halvvinkelformlene $sin^{2} \frac{A}{2} = \frac{1 - c o s A}{2}, cos^{2} \frac{A}{2} = \frac{1 + c o s A}{2}$
Brukes i integraler og forenklinger.
Harmonisk svingning $f (t) = A sin (c t + φ) + d$
A amplitude, c vinkelfart, \varphi faseforskyvning, d likevektsnivå. Periode T = 2\pi/c.

Vektorer i planet

Vektorlengde $∣ a ∣ = a_{1}^{2} + a_{2}^{2}$
Lengden til vektoren \mathbf{a} = (a_1, a_2).
Skalarprodukt $a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$
Skalarproduktet måler projeksjon. Null når vektorene er ortogonale.
Vinkel mellom vektorer $cos θ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣∣ b ∣}$
Vinkelen \theta mellom to vektorer.
Parameterframstilling av linje $r (t) = r_{0} + t d$
Linje gjennom \mathbf{r}_0 med retningsvektor \mathbf{d}.
Ortogonalitet $a ⊥ b ⟺ a \cdot b = 0$
To vektorer er ortogonale når skalarproduktet er null.
Determinantkriterium for parallellitet $a ∥ b ⟺ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$
I planet er to vektorer parallelle når 2x2-determinanten er null.
Avstand mellom punkt og linje $d = \frac{∣ n \cdot ( p - r _{0} ) ∣}{∣ n ∣}$
\mathbf{n} normalvektor til linja, \mathbf{r}_0 punkt på linja, \mathbf{p} gitt punkt.

Algebra og logaritmer

Logaritmelovene $lo g (ab) = lo g a + lo g b, lo g \frac{a}{b} = lo g a - lo g b, lo g a^{n} = n lo g a$
Tre grunnregler for logaritmer (gjelder også \ln).
Basebytte for logaritme $lo g_{b} a = \frac{ln a}{ln b}$
Konverter mellom logaritmer med forskjellig base.
Sammenheng mellom eksponential og logaritme $a = e^{l n a}, a^{x} = e^{x l n a}$
Skriv om eksponentialer på e-form for derivasjon eller integrasjon.
Polynomdivisjon $P (x) = Q (x) \cdot D (x) + R (x), de g R < de g D$
P delt på D gir kvotient Q og rest R. Brukes til å faktorisere etter at en rot er funnet.
Faktorteoremet $P (c) = 0 ⟺ (x - c) er en faktor i P (x)$
Hjelpemiddel ved polynomdivisjon. Sjekk gjettede rasjonale røtter.

Derivasjon og drøfting

Andrederivert $f^{''} (x) = (f^{'} (x))^{'}$
Gir konkavitet: f'' > 0 konveks (sur), f'' < 0 konkav (smiler).
Vendepunkt $f^{''} (x) = 0 og fortegnsskifte i f^{''}$
Vendepunkt er der konkaviteten skifter retning.
Ekstremalpunkt $f^{'} (x) = 0 og fortegnsskifte i f^{'}$
Stasjonært punkt med fortegnsskifte. f'' > 0 \to minimum, f'' < 0 \to maksimum.
Tangentligning $y = f (a) + f^{'} (a) (x - a)$
Tangenten til f i x = a.
Normalligning $y = f (a) - \frac{1}{f ^{'} ( a )} (x - a) (f^{'} (a) \neq = 0)$
Normalen står vinkelrett på tangenten i x = a.
Middelverdisetningen $\exists c \in (a, b) : f^{'} (c) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$
Et sted i (a, b) er momentan endring lik gjennomsnittlig endring.

Vektorfunksjoner og bevegelse

Posisjonsvektor $r (t) = (x (t), y (t))$
Vektoren fra origo til partikkelens posisjon på tid t.
Hastighetsvektor $v (t) = r^{'} (t) = (x^{'} (t), y^{'} (t))$
Derivert av posisjonsvektor. Retning tangent til banen.
Akselerasjonsvektor $a (t) = v^{'} (t) = r^{''} (t)$
Derivert av hastighetsvektor. Endring i fart eller retning.
Banefart $∣ v (t) ∣ = x^{'} (t)^{2} + y^{'} (t)^{2}$
Skalarfart langs banen.
Banelengde $s = \int_{a}^{b} ∣ v (t) ∣ d t = \int_{a}^{b} x^{'} (t)^{2} + y^{'} (t)^{2} d t$
Integralet av banefarten gir samlet veilengde.

Omvendt funksjon

Eksistens av omvendt funksjon $f strengt monoton ⟹ f^{- 1} eksisterer$
Strengt voksende eller strengt avtakende funksjon har omvendt funksjon på sitt verdiområde.
Speiling om y = x $y = f^{- 1} (x) ⟺ x = f (y)$
Grafen til f^{-1} er speilingen av grafen til f om linjen y = x.

Vekstmodeller

Eksponentiell vekst og halveringstid $N (t) = N_{0} \cdot 2^{- t / T_{1/2}}$
Halveringstid T_{1/2} er tiden det tar for mengden å bli halvert.
Doblingstid $T_{2} = \frac{ln 2}{ln V}$
Tiden for at eksponentialfunksjon N(t) = N_0 V^t skal dobles.

Digitale metoder

Halveringsmetoden $c = \frac{a + b}{2}, velg [a, c] eller [c, b] basert p \overset{a}{˚} fortegn av f$
Halverer intervallet for å finne nullpunkt. Krever fortegnsskifte og kontinuitet.
Newtons metode $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )}$
Itererer tangentskjæringen mot nullpunktet. Kvadratisk konvergens nær roten.
Numerisk derivasjon (sentralt-differanse) $f^{'} (x) \approx \frac{f ( x + h ) - f ( x - h )}{2 h}$
Andreordens nøyaktighet, bedre enn fremover-differensen.